分析:(1)将已知条件化简为a
n+1=[1+
]a
n+
,而a
1=-1,可求得a
2,a
3,a
4;并能证明:a
2m+1+2=2(a
2m-1+2),m∈N
*
(2)①讨论r,在r≠0的情况,利用二次函数的最值,结合r的范围运用放缩法证明;
②利用放缩法将所求转化,并运用等比数列求和,再结合r的范围放缩证明.
解答:解:(1)∵a
n+1=[1+
]a
n+
,a
1=-1,
∴a
2=a
1+1=0,a
3=2a
2=0,a
4=a
3+1=1;
a
2m+1=2a
2m=2a
(2m-1)+1=2{[1+
]a
2m-1+
}
=2(a
2m-1+1),
∴a
2m+1+2=2a
2m-1+4=2(a
2m-1+2).m∈N
*
(2)由(1)可得:a
2m+1+2是以1为首项,2为公比的等比数列,故a
2m+1+2=2
m,
∴a
2m+1=2
m-2,
∴f
n(x)=
+rcosx+r
2cos2x+r
3cos4x+…+r
n-1cos2
n-2x.(n≥2,n∈N
*)
①证明:1°当r=0时,显然0≥-
,
2°当r≠0时,设φ(x)=rcosx+r
2cos2x=r
2(2cos
2x-1)+rcosx
=
2r2(cosx+)2--r2≥--r2≥--()2=-.(
|r|≤)
当
|r|≤时,,?x∈R,?n∈N*(n≥2),
②证明:
f2n+1=+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+r4cos8x+…+r2n-1cos22(n-1)x+r2ncos22n-1x=
+φ(x)+r2φ(4x)+…+r2(n-1)•φ(4n-1x)≥
-(1+r2+…+r2(n-1))≥
-(1++…+)=
-•==>0.
点评:本题是不等式的综合题,关键是灵活运用放缩法将不等关系“细化”,放缩法证明不等式是高考的难点,也是综合题里的常考点,属于难题.