Question

【题目】设 （n∈N*，an∈Z，bn∈Z）．
（1）求证：an2﹣8bn2能被7整除；
（2）求证：bn不能被5整除．

Answer 1

【答案】
（1）证明：（ 1+2 ）2n+1 + （2 ）+ （2 ）2+…+ （2 ）2n+1，

（1﹣2 ）2n+1= ﹣ （2 ）+ （2 ）2+…﹣ （2 ）2n+1，

由（1+2 ）2n+1=an+2 bn，（1﹣2 ）2n+1=an﹣2 bn，

（1+2 ）2n+1（1﹣2 ）2n+1=（an+2 bn）（an﹣2 bn），

即an2﹣8bn2=﹣72n+1，

∴an2﹣8bn2能被7整除；

（2）由an2﹣8bn2=﹣72n+1，则8bn2=an2+72n+1，

由72n=49n=（50﹣1）n= ×50n+ ×50n﹣1×（﹣1）1+…+ ×50×（﹣1）n﹣1+ ×（﹣1）n，

除最后一项都是5的倍数，

∴72n+1的余数是2或﹣2，

由an2的是平方数，其尾数为0，1，4，5，6，9，

∴an2+72n+1的尾数不可能是0或5，

∴an2+72n+1不能被5整除，

即8bn2不能被5整除，

∴bn不能被5整除．

【解析】（1）利用二项式定理展开（ 1+2）2n+1与（ 1-2）2n+1得到（1+2）2n+1=an+2bn，（1﹣2）2n+1=an﹣2bn，即可证明；（2）利用尾数为0或5的数能被5整除进行证明.