Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）b=2，求ac的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式，转化已知条件为B的三角函数，求出B的余弦函数值，即可求角B的大小；
（Ⅱ）由余弦定理得4=a²+c²-ac，利用基本不等式求出ac的最大值；

解答： （Ⅰ）解：由已知得 2cos²B+cosB-1=0，…（2分）
即 （2cosB-1）（cosB+1）=0．
解得 cosB=

1

2

，或cosB=-1．    …（4分）
因为 0＜B＜π，故舍去cosB=-1．      …（5分）
所以 B=

π

3

．                           …（6分）
（Ⅱ）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
得4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，得ac≤4…（11分）
于是当且仅当a=c=2时，ac的最大值为4…（13分）

点评：本题考查二倍角公式的应用，三角方程的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．