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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右焦点为F,过F的直线l交双曲线的渐近线于A,B两点,且与其中一条渐近线垂直,若
AF
=4
FB
,则该双曲线的离心率为(  )
分析:由题意得右焦点F(c,0),设一渐近线OA的方程为y=
b
a
x,则另一渐近线OB的方程为y=-
b
a
x,设A(m,
bm
a
),B(n,-
bn
a
),由
AF
=4
FB
可得方程,解之可得m=
5c
2
,n=
5c
8
,可得B(
5c
8
-
5bc
8a
),由FB⊥OB可得,斜率之积等于-1,进而可得ab的关系式,结合双曲线abc的关系,可得离心率.
解答:解:由题意得右焦点F(c,0),设一渐近线OA的方程为y=
b
a
x,则另一渐近线OB的方程为y=-
b
a
x,
设A(m,
bm
a
),B(n,-
bn
a
),∵
AF
=4
FB
,∴(c-m,-
bm
a
)=4(n-c,-
bn
a
),
∴c-m=4(n-c),-
bm
a
=-4
bn
a
,解之可得m=
5c
2
,n=
5c
8

∴B(
5c
8
-
5bc
8a
),由FB⊥OB可得,斜率之积等于-1,
-
5bc
8a
-0
5c
8
-c
-
5bc
8a
5c
8
=-1,化简可得5b2=3a2,即5(c2-a2)=3a2
解之可得5c2=8a2,即e=
c
a
=
2
10
5

故选D
点评:本题考查双曲线的简单性质,涉及离心率的求解,属中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1
,直线l过其左焦点F1,交双曲线的左支于A、B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,△ABF2的周长为20,则此双曲线的离心率e=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且该双曲线的离心率为
5
,则该双曲线的渐近线方程为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b>a>0)
,O为坐标原点,离心率e=2,点M(
5
3
)
在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且
OP
OQ
=0
.问:
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值?若是请求出该定值,若不是请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R),则该直线过定点
(-2,1)
(-2,1)

(2)已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x,则双曲线的离心率为
5
3
5
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)满足
a1
b
2
 |=0
,且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x
的焦点重合,则该双曲线的方程为
 

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