Question

【题目】已知椭圆 ：，点 ， 分别是椭圆 的左顶点和左焦点，点 是 ： 上的动点，若 是常数，则椭圆 的离心率为________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

设F（﹣c，0），由c2=a2﹣b2可求c，P（x1，y1），令=，则有（x1+a）2+y12=λ[（x1+c）2+y12]比较两边可得c，a的关系，结合椭圆的离心率公式，解方程可得可求．

解：设F（﹣c，0），c2=a2﹣b2，A（﹣a，0），P（x1，y1），

使得是常数，设=，则有（x1+a）2+y12=λ[（c+x1）2+y12]（x，λ是常数），

即b2+2ax1+a2=λ（b2+2cx1+c2），

比较两边，b2+a2=λ（b2+c2），a=λc，

故cb2+ca2=a（b2+c2），即ca2﹣c3+ca2=a3，

即e3﹣2e+1=0，

∴（e﹣1）（e2+e﹣1）=0，

∴e=1或e=，

∵0＜e＜1，∴e=．

故答案为：．