Question

14．某高校的自主招生考试分为笔试和面试，笔试有语、数、外、综合共四个科目的考试，面试有时政评论、创新设计共两个项目的考核，笔试中至少通过3科才可进入面试，否则淘汰；面试中只通过一项可获得高考报考降分录取资格，两项都通过可获得保送资格．已知每位考生在笔试中通过每科考试的概率均为$\frac{2}{3}$，在面试中通过每项考核的概率均为$\frac{1}{2}$，且相互独立．
（1）求参加考试的某学生获得降分录取资格的概率；
（2）某中学选送了3名学生参加考试，其中获得降分录取和保送资格的人数之和记为ξ，求ξ的期望值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求得某学生获得降分录取资格的概率．
（2）先利用相互独立事件的概率乘法公式，求得考生获得降分录取或保送资格的概率，再利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求得 ξ取每个值的概率，即可求得ξ的期望值．

解答 解：（1）某学生获得降分录取资格，说明他笔试中至少通过3科，面试中只通过一项，
故获得降分录取资格的概率为[${C}_{4}^{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$•$\frac{1}{3}$+${（\frac{2}{3}）}^{4}$]•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{48}{81}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{8}{27}$．
（2）由（1）可得考生获得高考报考降分录取资格的概率为$\frac{8}{27}$，考生获得高考保送资格的概率为[${C}_{4}^{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$•$\frac{1}{3}$+${（\frac{2}{3}）}^{4}$]•${C}_{2}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{48}{81}$•$\frac{1}{4}$=$\frac{4}{27}$，
故考生获得降分录取或保送资格的概率为$\frac{8}{27}$+$\frac{4}{27}$=$\frac{4}{9}$，
故考生获得降分录取和保送资格的人数之和 ξ=0，1，2，3．
由于P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}$•${（\frac{5}{9}）}^{3}$=$\frac{125}{729}$，P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{4}{9}$•${（\frac{5}{9}）}^{2}$=$\frac{300}{729}$，P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{4}{9}）}^{2}$•$\frac{5}{9}$=$\frac{240}{729}$，P（ξ=3）=${（\frac{4}{9}）}^{3}$=$\frac{64}{729}$，
∴Eξ=0+1×$\frac{300}{729}$+2×$\frac{240}{729}$+3×$\frac{64}{729}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，离散型随机变量的期望，属于中档题．