Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱AB的中点，过A₁，M，C三点的平面与CD所成角正弦值（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．

  2

  4

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：先做B₁E⊥平面A₁MC与E，根据DC∥A₁B₁得到∠B₁A₁E为所求；然后通过体积相等求出B₁E的长，即可求出答案．

解答：解：做B₁E⊥平面A₁MC与E
设B₁E=h
∵DC∥A₁B₁，则∠B₁A₁E为所求的线面角；
设此正方体所有棱边长为1．
如图，因为M是棱AB的中点，
所以：CM=

CB 2+AM 2

=

5

2

，同理A₁M=

5

2

，
而CA₁=

3

AB=

3

．
∴在等腰三角形A₁MC中底边A₁C边上的高为

2

2

．
∴S△A1MC=

1

2

×

2

2

×

3

=

6

4

；
∵VB1-A1MC=VC-A1B1 M
∴

1

3

•h•S△A1MC=

1

3

•BC•S△A1B1C
∴

1

3

•h•

6

4

=

1

3

×1×

1

2

×1×1⇒h=

2

6

=

6

3

．
∴sin∠B₁A₁E=

B1E

A1B1

=

6

3

．
即过A₁，M，C三点的平面与CD所成角正弦值为：

6

3

．
故选：D．

点评：本题主要考察直线与平面所成的角．解决本题的关键在于通过DC∥A₁B₁把问题转化为求∠B₁A₁E．