Question

已知向量

a

与向量

b

的夹角为

π

3

，|

a

|=2，|

b

|=3，记向量

m

=3

a

-2

b

，

n

=2

a

+k

b

（1）若

m

⊥

n

，求实数k的值  
（2）是否存在实数k，使得

m

∥

n

？若存在，求出实数k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由两向量垂直，得两向量的数量积等于0，代入后展开多项式乘多项式，然后代入向量的模即可求解k的值；
（2）假设存在实数k，使得向量

m

和

n

共线，运用共线向量基本定理写出关系式，再根据向量

a

与

b

不共线，得到关于实数k的表达式，从而可以求出k的值．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=(3

a

-2

b

)(2

a

+k

b

)=6|

a

|2+(3k-4)

a

•

b

-2k|

b

|2=0，
即：6×22+(3k-4)×2×3×cos

π

3

-2k×32=0，解得：k=

4

3

；
（2）假设存在实数k，使得

m

∥

n

，则存在实数λ，使得

m

=λ

n

，
即3

a

-2

b

=λ(2

a

+k

b

)，∴(3-2λ)

a

=(2+λk)

b

，
∵

a

与

b

不共线，∴

3-2λ=0 2+λk=0

，解得：k=-

4

3

．
∴存在实数k=-

4

3

，使得

m

∥

n

．

点评：本题考查了数量积判断两个平面向量垂直的关系，考查了平面向量平行的坐标表示，考查了两个向量相等的条件，解答此题的关键是熟记共线向量基本定理．