Question

已知函f（x）=ln x，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0）．
（1）若a=-2时，函h（x）=f（x）-g（x），在其定义域是增函数，求b的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设函数φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（3）当a=-2，b=4时，求证2x-f（x）≥g（x）-3．

Answer 1

分析：（1）、将a=-2代入h（x）=f（x）-g（x）中，求得h（x）的解析式，然后求出其导数，利用导数的性质结合题中已知条件便可求出b的取值范围；
（2）根据题意先求出φ（x）的解析式，然后分别讨论当-

b

2

≤1，1＜-

b

2

＜2和-

b

2

≥2时函数φ（x）的最小值；
（3）将a=-2，b=4代入其中，令h（x）=2lnx+x+

3

x

，求出函数h（x）的最小值，便可证明2x-f（x）≥g（x）-3．

解答：解：（1）依题意：h（x）=ln x+x²-bx，h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴h′（x）=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴b≤

1

x

+2∵x＞0，则

1

x

+2x≥2（当x═

2

2

时取等号）．
∴b的取值范围为（-∞，2

2

]．

（2）设t=e^x，则函数化为y=t²+bt，t∈[1，2]，∵y=（t+

b

2

）²-

b2

4

，
∴①当-

b

2

≤1，即-2≤b≤2

2

时，函数y在[1，2]上为增函数，
当t=1时，y_min=b+1．
②当1＜-

b

2

＜2，即-4＜b＜-2时，当t=-

b

2

时，y_min=-

b2

4

．
③当-

b

2

≥2，即b≤4时，函数y在[1，2]上为减函数，当t=2时，y_min=-4+2b．
综上所述，当-2≤-

b

2

≤2

2

时，φ（x）_min=b+1；
当-4＜b＜-2时，φ（x）_min=-

b2

2

；
当b≤4时，φ（x）_min=4+2b．
（3）要证2xlnx≥-x2+4x-3，只要证4≤2lnx+x+

3

x

，
设h（x）=2lnx+x+

3

x

（x＞0），则h′（x）=

(x+3)(x-1)

x2

，
x∈（0，1），h′（x）＜0，∴h（x）单调递减；
x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴对一切x∈（0，+∞），2x-f（x）≥g（x）-3恒成立．

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值和函数的单调性，考查了学生的计算能力和对函数的综合掌握，解题时注意分类讨论的数学思想的运用，是各地高考的常考题，属于中档题．