Question

【题目】设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=

Answer 1

【答案】1
【解析】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）﹣log2x为定值，
设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，
又由f（t）=6，可得t+log2t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）= ，
又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，
所以x0是函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣ 的零点，
分析易得F（1）=﹣ ＜0，F（2）=1﹣ =1﹣ ＞0，
故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，
所以答案是：1
【考点精析】通过灵活运用基本求导法则，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导即可以解答此题．