Question

已知函数：
①f（x）=-x²+2x，
②f（x）=cos（），
③f（x）=．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是
命题p：f（x）是奇函数；　　　
命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数；
命题r：f（）；　　　　　　
命题s：f（x）的图象关于直线x=1对称．

1. A.
   命题p、q
2. B.
   命题q、s
3. C.
   命题r、s
4. D.
   命题p、r

Answer 1

C
分析：①中函数是二次函数，由二次函数的对称轴是x=1且开口向下，即能判出函数是非奇非偶函数，由函数在（1，+∞）上的单调性可知向左平移1个单位后的单调性；
②中的函数经诱导公式化简后变为，然后逐一对四个命题进行判断；
③中的函数直接利用奇偶性定义判断奇偶性，求出f（x+1）可判出f（x+1）为偶函数，从而得到在（0，1）上是增函数，利用图象平移判出函数f（x）的对称轴．
解答：①函数f（x）=-x²+2x图象是开口向下的抛物线，对称轴方程是x=1，所以该函数不是奇函数；函数f（x）在
（1，+∞）上为减函数，而函数f（x+1）的图象是把函数f（x）的图象左移1个单位得到的，所以函数f（x+1）在（0，1）上是减函数；
；f（x）的图象关于直线x=1对称．
②f（x）=cos（）=，该函数是定义在R上的奇函数；f（x+1）=，
当x∈（0，1）时，，所以f（x+1）在（0，1）上是减函数；=
=＞；当x=1时，，所以f（x）的图象关于直线x=1对称．
③f（x）=，由于=f（x），所以f（x）不是奇函数；
f（x+1）=，在（0，1）上是增函数；；
因为是偶函数，图象关于x=0对称，所以f（x）的图象关于直线x=1对称．
综上，对三个函数都成立的命题是r和s．
故选C．
点评：本题考查了命题的真假的判断与应用，考查了复合函数的奇偶性，单调性及对称性，考查了函数值的计算，解答此题的关键是熟练掌握函数图象的平移，此题是基础题．