Question

在ΔABC中，三个内角，，的对边分别为，，，其中， 且
(1)求证：ΔABC是直角三角形；
(2)设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，，用的三角函数表示三角形的面积，并求面积最大值.

Answer 1

(1) 见解析(2)

（1）因为，根据正弦定理得，即又，所以即.
（2）由（1）得ΔABC中，，，.所以.根据三角形的面积公式用的三角函数表示出三角形的面积，再由三角函数的公式得，又，由正弦函数的单调性得时，
最大值等于.
解：(1)证明：由正弦定理得，整理为，

即sin2A＝sin2B  ∴2A＝2B或2A＋2B＝π,即A＝B或A＋B＝
∵，∴A＝B舍去.
由A＋B＝可知c＝，∴ΔABC是直角三角形…
(2)由(1)及，得，
在RtΔ中， 　所以，



，
因为，所以，
当，即　时，最大值等于.