Question

已知a为实数，函数f（x）=x³-ax²（x∈R）．
（1）若f′（1）=5，求a的值及曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用f′（1）=5，确定a的值，从而可得切点坐标，即可求得切线的方程；
（2）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求得函数的最值．

解答：解：（1）求导数可得f′（x）=3x²-2ax，
∵f′（1）=5，∴3-2a=5，∴a=-1
又当a=-1时，f（x）=x³+x²，∴f（1）=2，
所以，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-2=5（x-1），即y=5x-3．（5分）
（2）令f′（x）=3x²-2ax，解得x₁=0，x₂=

2a

3

，
当

2a

3

≤0，即a≤0时，在（0，2）上f′（x）＞0，f（x）在[0，2]上为增函数，∴f（x）_max=f（2）=8-4a；
当

2a

3

≥2，即a≥3时，在（0，2）上f′（x）＜0，f（x）在[0，2]上为减函数，∴f（x）_max=f（0）=0；
当0＜

2a

3

＜2，即0＜a＜3时，在（0，

2a

3

）上f′（x）＜0，在（

2a

3

，2）上f′（x）＞0，
故f（x）在[0，

2a

3

]上为减函数，在[

2a

3

，2]上为增函数，
故当f（2）≥f（0），即8-4a≥0，即0＜a＜2时，f（x）_max=f（2）=8-4a；
当f（2）＜f（0），即8-4a＜0，即2＜a＜3时，f（x）_max=f（0）=0，
综上所述，f（x）=

8-4a，a≤2 0，a＞2

      （13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查切线方程，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．