Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x+

5

2

)+f(x)=0，且函数f(x+

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4

)为奇函数．给出下列结论：①函数f（x）的最小正周期是

5

2

；②函数f（x）的图象关于点（

5

4

，0）对称；③函数f（x）的图象关于直线x=

5

2

对称；④函数f（x）的最大值为f(

5

2

)．其中所有正确结论的序号是

②③

．

Answer 1

分析：①：由题意可得f（x+5）=-f（x+

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2

）=f（x）则函数f（x）是周期函数且其周期为5；②：由y=f（x+

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4

）是奇函数可得其图象关于原点（0，0）对称，由y=f（x+

5

4

）向右平移

5

4

个单位长度可得y=f（x）的图象，则函数f（x）的图象关于点（

5

4

，0）对称；③：f（x+

5

2

）+f（x）=0，f（-x+

5

2

）+f（-x）=0，则f（-x+

5

2

）=f（x+

5

2

），函数f（x）的图象关于直线x=

5

2

对称；④：函数f（x）的最大值不为f(

5

2

)．

解答：解：①：由题意可得f（x+5）=-f（x+

5

2

）=f（x）则函数f（x）是周期函数且其周期为5，故①错误；
②：由y=f（x+

5

4

）是奇函数可得其图象关于原点（0，0）对称，由y=f（x+

5

4

）向右平移

5

4

个单位长度可得y=f（x）的图象，则函数f（x）的图象关于点（

5

4

，0）对称，故②正确；
③：f（x+

5

2

）+f（x）=0
f（-x+

5

2

）+f（-x）=0
则f（-x+

5

2

）=f（x+

5

2

）
函数f（x）的图象关于直线x=

5

2

对称，故③正确；
④：函数f（x）的最大值不为f(

5

2

)，故④不正确．
故答案为：②③．

点评：本题考查函数的周期性，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数性质的灵活运用．