Question

已知定点F（2，0），直线l：x=2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F的直线l₁与曲线C有两个不同的交点A、B，求证：+=；
（3）记与的夹角为θ（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cosθ的取值范围．

Answer 1

（1）解：设点P的坐标为（x，y）． （1分）
由题意，可得Q（-2，y），=（-4，y），=（2-x，-y），=（-2-x，0）．（3分）
由，得=0，即（-4，y）•（-2x，-y）=0
∴y²=8x（x≥0）． （6分）
∴所求曲线C的方程为y²=8x（x≥0）．
（2）证明：因为过点F的直线l₁与曲线C有两个不同的交点A、B，所以l₁的斜率不为零，
故设直线l₁的方程为x=my+2． （7分）
于是A、B的坐标（x₁，y₁）、（x₂，y₂）为方程组的实数解．
消x并整理得y²-8my-16=0．　　　　 　（8分）
于是y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
∴x₁+x₂=8m²+4，x₁x₂=4，（10分）
又因为曲线y²=8x（x≥0）的准线为x=-2，
所以+=+==，得证． （12分）
（3）解：由（2）可知，=（x₁，y₁），=（x₂，y₂）．
∴==（当且仅当m=0时，等号成立）．　　　　　（16分）
∴cosθ的取值范围为[-，0）． （18分）
分析：（1）确定向量的坐标，利用，得=0，由此可求曲线C的方程；
（2）设直线l₁的方程为x=my+2与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合+=+，即可证得结论；
（3）确定=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），利用，可求cosθ的取值范围．
点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查计算能力，属于中档题．