【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位: ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
.
(1)假设生产状态正常,记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
之外的零件数,求
及
的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
经计算得,其中
为
抽取的第个零件的尺寸,
.
用样本平均数作为
的估计值
,用样本标准差
作为
的估计值
,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除
之外的数据,用剩下的数据估计
和
(精确到0.01).
附:若随机变量服从正态分布
,则
,
.
【答案】(1),
;(2)(i)见解析,(ii)
,
.
【解析】试题分析:(1)根据题设条件知一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974,则零件的尺寸在
之外的概率为0.0026,而
,进而可以求出
的数学期望.(2)(i)判断监控生产过程的方法的合理性,重点是考虑一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在
之外的零件的概率是大还是小,若小即合理;(ii)根据题设条件算出
的估计值和
的估计值,剔除
之外的数据9.22,算出剩下数据的平均数,即为
的估计值,剔除
之外的数据9.22,剩下数据的样本方差,即为
的估计值.
试题解析:(1)抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在
之外的概率为0.0026,故
.因此
.
的数学期望为
.
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在
之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii)由,得
的估计值为
,
的估计值为
,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在
之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据9.22,剩下数据的平均数为
,因此
的估计值为10.02.
,剔除
之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为
,
因此的估计值为
.
点睛:数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念,反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时,首先要分清事件的构成与性质,确定离散型随机变量的所有取值,然后根据概率类型选择公式,计算每个变量取每个值的概率,列出对应的分布列,最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布,之前考过一次,尤其是正态分布的原则.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点为
,点
与
关于坐标原点对称,直线
垂直于
轴,垂足为
,与抛物线交于不同的两点
,
,且
.
(1)求点的横坐标.
(2)若以,
为焦点的椭圆
过点
(ⅰ)求椭圆的标准方程;
(ⅱ)过点作直线
与椭圆
交于
,
两点,设
,若
,求
的取值范围.
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【题目】 在平行四边形ABCD中,A(1,1),=(6,0),点M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P.(1) 若
=(3,5),求点C的坐标;(2) 当|
|=|
|时,求点P的轨迹.
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【题目】(1)已知:“直线
与圆
相交”;
:“
有一正根和一负根”.若
为真,
为真,求
的取值范围.
(2)已知椭圆:
与圆
:
,双曲线
与椭圆
有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆
相切.求双曲线
的方程.
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【题目】设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题:①b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根;②c=0时,y=f(x)是奇函数;③方程f(x)=0至多有两个实根.上述三个命题中所有正确命题的序号为 .
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【题目】甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践,对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究,得到如下两个不同的信息图:
(A)图表明:从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡:
(B)图表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.
请你根据提供的信息解答下列问题:
(1)第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少?
(2)哪一年的规模最大?为什么?
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【题目】某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本C(x),当年产量不足80千件时,C(x)= x2+10x(万元);当年产量不小于80千件时C(x)=51x+
﹣1450(万元),通过市场分析,若每件售价为500元时,该厂本年内生产该商品能全部销售完.
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获的利润最大?
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