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(本小题满分13分)

已知抛物线,过点的直线与抛物线交于两点,且直线轴交于点.(1)求证:成等比数列;

(2)设,试问是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.

 

【答案】

(1)见解析;

(2)为定值且定值为

【解析】本试题主要是考查了解析几何与数列、不等式的综合运用。

(1)先设直线方程,然后利用题目中等比数列的关系得到各自的长度,进而证明。

(2)假设为定值,利用已知中向量的关系式,得到坐标关系,然后利用参数与坐标的关系表示得到证明。

解:(1)设直线的方程为:

联立方程可得得:  ① ………………………………2分

,则  ②

,  …………………………4分

,∴

成等比数列…………………………………………………………6分

(2)法1:由得,

即得:,  ………………………………………………………8分

  ………………………………………………………10分

由(1)中②代入得,故为定值且定值为  ………………………………13分

法2:设直线的方程为:,M(0,2)

联立方程可得得: ………………………………………………8分由得, ………10分

 即证.    ………………………………13分

法3:设直线的方程为:,M(0,2)

得:代入有:

,   同理:

所以 故    ………………………………13分(注:该法可以不联立直线与抛物线的方程.)

 

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