Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，若x=

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时，y=f（x）有极值．y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为

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．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，由x=

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时，y=f（x）有极值，得到f′（

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）=0；又函数在y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为3，得到f′（1）=3，两者联立即可求出a与b的值，然后设出此切线的方程为y=3x+m，由原点到切线l的距离等于

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，利用点到直线的距离公式表示出原点到y=3x+m的距离d，让d等于

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列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，然后把切点的横坐标x=1代入切线方程即可求出切点的纵坐标，把求出的切点坐标代入f（x）中即可求出c的值；
（2）把求出的a，b和c的值代入到f（x）中确定出f（x）的解析式，求出f（x）的导函数，令导函数为0求出x的值，在[-4，1]上，利用x的值讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，利用函数的增减性即可得到函数的最大值和最小值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b．
由题意，得

f′( 2 3 )=3×( 2 3 )2+2a× 2 3 +b=0 f′(1)=3×12+2a×1+b=3.

解得

a=2 b=-4.

设切线l的方程为y=3x+m，由原点到切线l的距离为

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，
则

|m|

32+1

=

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．解得m=±1．
∵切线l不过第四象限，∴m=1．
∴切线l的方程为y=3x+1，由于切点的横坐标为x=1，∴切点坐标为（1，4），
∵f（1）=1+a+b+c=4，∴c=5．

（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-4x+5，所以f'（x）=3x2+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=

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．
列表如下：

∴f（x）在[-4，1]上的最大值为13，最小值为-11．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数求闭区间上函数的最值，是一道中档题．