Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB₁，BC₁上两点，且B₁E=C₁F，求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面ACD₁∥平面A₁BC₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行，故只需在平面ABCD中找到与EF平行的直线即可；
（2）先证明A₁C₁∥平面A₁BC₁，同理，得A₁B∥平面A₁BC₁，从而命题得证．

解答： 证明：（1）分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连接MN．
∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．
∴EM∥BB₁，FN∥BB₁．∴EM∥FN．
又B₁E=C₁F，∴EM=FN．
故四边形MNFE是平行四边形．
∴EF∥MN．又MN在平面ABCD中，
∴EF∥平面ABCD．
（2）

如图所示，连接A₁B、A₁C、AD₁、CD₁、BC₁、如图，
则AC∥A₁C₁，又因为AC?平面A₁BC₁，
∴A₁C₁∥平面A₁BC₁，
同理，得A₁B∥平面A₁BC₁，
∴平面ACD₁∥平面A₁BC₁．

点评：本题重点考查了空间中直线与直线平行、直线与平面平行、平面和平面平行的判定和性质等知识，属于中档题，解题关键是熟练运用判定和性质定理进行解题．