Question

某地区试行中考考试改革，在九年级学年中举行4次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升入高中继续学习，不再参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加4次测试，假设某学生每次通过测试的概率都是

1

3

，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．
（Ⅰ）求该学生在前两次测试中至少有一次通过的概率；
（Ⅱ）假定该生通过其中2次测试，则结束测试，否则继续测试直至判定他能否升入高中继续学习时停止，且最多参加完4次测试，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记“该生在前两次测试中至少有一次通过”的事件为事件A，则

.

A

表示“该生在前两次测试中两次均未通过”，根据已知，结合对立事件概率减法公式，可得答案．
（II）由题意可知参加测试次数X的可能取值为2，3，4，进而求出X的分布列，代入数学期望公式可得X的数学期望

解答：解：（Ⅰ）记“该生在前两次测试中至少有一次通过”的事件为事件A，则
P（A）=1-（1-

1

3

）²=

5

9

…（4分）
答：该生在前两次测试中至少有一次通过的概率为

5

9

．
（Ⅱ）参加测试次数X的可能取值为2，3，4，
P（X=2）=（

1

3

）²=

1

9

，…（6分）
P（X=3）=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

+（

2

3

）³=

4

9

，…（7分）
P（X=4）=

C

1 3

•

1

3

•（

2

3

）²=

4

9

，…（8分）

X	2	3	4
P	1 9	4 9	4 9

故X的分布列为：…（9分）
E（X）=2×

1

9

+3×

4

9

+4×

4

9

=

10

3

．…（10分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查对立事件的概率，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清题目事件的特点，找出解题的规律，遇到类似的题目要求能做．