Question

给定两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R．
（1）若∠AOC=30°，求x，y的值；
（2）求x+y的最大值．

Answer 1

分析：（1）以O为原点，OA方向为x轴正方向建立坐标系，分别求出A，B的坐标，及∠AOC=30°时，C的坐标，进而根据

OC

=x

OA

+y

OB

，构造关于x，y的方程，解方程即可得到满足条件的x，y的值；
（2）则

OC

=x

OA

+y

OB

=（x，0）+（-

y

2

，

3

2

y）=（cosα，sinα），我们求出x+y的表达式，然后根据三角函数的性质，即可得到x+y的最大值．

解答：解：（1）建立如图所示的坐标系，
则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（-

1

2

，

3

2

）
即B（-

1

2

，

3

2

）．
设∠AOC=α，则

OC

=（cosα，sinα）．
∴当∠AOC=30°时，

OC

=（

3

2

，

1

2

）
则

3 2 =x- 1 2 y 1 2 = 3 2 y

∴x=

2 3

3

，y=

3

3

 …（7分）
（2）∵

OC

=x

OA

+y

OB

=（x，0）+（-

y

2

，

3

2

y）=（cosα，sinα）．
∴

x- y 2 =cosα 3 2 y=sinα.

∴

x= sinα 3 + cosα y= 2sinα 3

∴x+y=

3

sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．
∴x+y有最大值2，当α=60°时取最大值2．…（14分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的综合应用，三角函数的性质，其中建立坐标系，分别求出A，B，C点的坐标，将一个几何问题代数化，是解答本题的关键．