Question

【题目】若对任意的x∈D，均有g（x）≤f（x）≤h（x）成立，则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“任性函数”．已知函数f（x）=kx，g（x）=x2﹣2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[e﹣2,2]
【解析】解：若f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，

则x∈[1，e]时， 恒成立，

即 恒成立，

即 恒成立，

若k≥x﹣2在区间[1，e]上恒成立，则k≥e﹣2；

令 ，若 在区间[1，e]上恒成立，则k≤v（x）min，

，

令u（x）=x﹣lnx，则u′（x）=1﹣ ，

当x∈[1，e]时，u′（x）≥0恒成立，

则u（x）=x﹣lnx在[1，e]上为增函数，u（x）≥u（1）=1恒成立，

即 ≥0恒成立，

故 在[1，e]上为增函数，

v（x）≥v（1）=2恒成立，

故k≤2，

综上可得：k∈[e﹣2，2]，

所以答案是：[e﹣2，2]

【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．