Question

过点O（0，0）的圆C与直线y=2x-8相切于点P（4，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值．
（3）在圆C上是否存在两点M，N关于直线y=kx-1对称，且以MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得圆心在直线y=-

1

2

x+2上，又在线段OP的中垂线x=2上，由此求得圆心C（2，1），半径为

5

，从而求得圆C的方程．
（2）求得点B（0，2）关于直线l：x+y+2=0的对称点G（-4，-2），再根据|PB|+|PQ|=|PG|+PQ|≥|QG|≥|GC|-

5

，求得|PB|+|PQ|的最小值．
（3）假设存在两点M，N关于直线y=kx-1对称，则y=kx-1通过圆心C（2，1），求得k的值，设直线MN为y=-x+b，代入圆的方程，利用根与系数的关系以及

OM

•

ON

=0，求得b的值，可得结论．

解答：解：（1）由已知得圆心经过点P（4，0），且与y=2x-8垂直的直线y=-

1

2

x+2上，
它又在线段OP的中垂线x=2上，所以求得圆心C（2，1），半径为

5

，
所以圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）求得点B（0，2）关于直线l：x+y+2=0的对称点G（-4，-2），
所以|PB|+|PQ|=|PG|+PQ|≥|QG|≥|GC|-

5

=2

5

，
所以|PB|+|PQ|的最小值是2

5

．
（3）假设存在两点M，N关于直线y=kx-1对称，则y=kx-1通过圆心C（2，1），求得k=1，
所以设直线MN为y=-x+b，代入圆的方程得2x²-（2b+2）x+b²-2b=0，
设M（x₁，-x₁+b），N（x₂，-x₂+b），则 x₁+x₂=b+1，x₁•x₂=-b．
又

OM

•

ON

=2 x₁•x₂-b（x₁+x₂）=b²-3b=0，
解得b=0或b=3，这时△＞0，符合条件，
所以，存在直线MN为y=-x或y=-x+3符合条件．…

点评：本题主要考查求圆的方程、直线和圆相交的性质，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．