考点:数列的求和,数列与不等式的综合
专题:等差数列与等比数列
分析:(Ⅰ)直接由数列递推式求b
1,b
2,b
3,b
4;
(Ⅱ)把数列递推式变形,得到数列{C
n}是以-4为首项,-1为公差的等差数列,求得数列{C
n}的通项公式后代入C
n=
求b
n的通项公式;
(Ⅲ)求出数列{a
n}的通项公式,代入S
n=a
1a
2+a
2a
3+a
3a
4+…+a
na
n+1利用裂项相消法求出S
n,把不等式4aS
n<b
n恒成立转化为(a-1)n
2+(3a-6)n-8<0恒成立,构造二次函数后分离参数n得答案.
解答:
解:(Ⅰ)∵a
n+b
n=1,∴a
n=1-b
n,
∴b
n+1=
=
=.
∵a
1=
,
∴
b1=,
b2=,b3=,b4=;
(Ⅱ)∵
bn+1-1=-1,
∴
==-1+,
∴数列{C
n}是以-4为首项,-1为公差的等差数列,
∴c
n=-4+(n-1)(-1)=-n-3.
于是
cn==-n-3,
bn=;
(Ⅲ)
an=1-bn=,
S
n=a
1a
2+a
2a
3+a
3a
4+…+a
na
n+1=
++…+=
-=.
∴4aS
n-b
n=
-=(a-1)n2+(3a-6)n-8 |
(n+3)(n+4) |
.
由条件可知(a-1)n
2+(3a-6)n-8<0恒成立即可满足条件,
设f(n)=(a-1)n
2+(3a-6)n-8.
当a=1时,f(n)=-3n-8<0恒成立,
当a>1时,由二次函数的性质知不可能成立,
当a<1时,对称轴
n=-•=-(1-)<0,f(n)在(1,+∞)为单调递减函数.
则f(1)=(a-1)n
2+(3a-6)n-8=(a-1)+(3a-6)-8=4a-15<0,
∴
a<,
∴a<1时,4aS
n<b
n恒成立.
点评:本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了裂项相消法求数列的和,考查了数列的函数特性,是中档题.