【题目】已知四棱锥中,平面平面,且,
是等边三角形, .
(1)证明: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1) 见解析. (2) .
【解析】试题分析:(1)根据计算可得,根据面面垂直性质定理得平面,即得, 根据等腰三角形性质得,最后根据线面垂直判定定理得结论(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解得各面法向量,根据向量数量积求两法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果
试题解析:(1)在中, ,所以,
又是等边三角形,所以,所以,即,
又因为平面平面,平面 平面,所以平面,故.在中, .
所以.
又因为 ,所以平面.
(2)解法一:如图,取的中点,连接.则在等腰中, .又因为平面平面,平面 平面,所以平面.过点作的平行线,则平面.
由(1)知,故以为坐标原点,以直线分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设,则在中, , .
又在中, ,
所以,故.
又因为是等边三角形,所以.
所以, , , ,即.
所以, , .
设平面的法向量为,则由,
得.
令,得.故为平面的一个法向量.
因为平面,故为平面
的一个法向量.
故
.
设二面角为,则由图可知,
所以.
解法二:取的中点,连接,连接并延长,交于,连接.则在等腰中, .
又因为平面平面,平面平面,
所以平面.
设,则在中, .
又在中, ,
所以
,故.
中, ,所以,且.
故,又,且,
所以,故.
又因为平面,由三垂线定理可得,
所以为二面角的平面角.
在中, ,所以.
故.所以在中, ,
故
∴二面角的余弦值为.
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【题目】已知直角梯形中, , , , 、分别是边、上的点,且,沿将折起并连接成如图的多面体,折后.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若折后直线与平面所成角的正弦值是,求证:平面平面.
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【题目】有一名同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对某种引领销售的影响,记录了2015年7月至12月每月15号下午14时的气温和当天的饮料杯数,得到如下资料:
该同学确定的研究方案是:现从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据取线性回归方程,再用被选中的2组数据进行检验.
(1)求选取2组数据恰好是相邻两个月的概率;
(2)若选中的是8月与12月的两组数据,根据剩下的4组数据,求出关于的线性回归方程;
(3)若有线性回归方程得到估计,数据与所宣称的检验数据的误差不超过3杯,则认为得到的线性回归方程是理想的,请问(2)所得线性回归方程是否理想.
附:对于一组数据,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为: , , .
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【题目】如图, 是圆的直径,点是圆上异于的点, 垂直于圆所在的平面,且.
(1)若为线段的中点,求证平面;
(2)求三棱锥体积的最大值;
(3)若,点在线段上,求的最小值.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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【题目】如图,正方形的边长为4,点, 分别为, 的中点,将, ,分别沿, 折起,使, 两点重合于点,连接.
(1)求证: 平面;
(2)求与平面所成角的正弦值.
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