Question

已知函数（k为常数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若g（x）=xe^xf（x）-2x-m在[1，+∞）恒有g（x）≥0，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）求导函数可得
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行
∴f′（1）=0，
∴k=1；
（2）求导数得（x＞0）
当x∈（0，1），f′（x）＞0；当x＞1，f′（x）＜0，
∴f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
（3）g（x）=xlnx-x-m≥0，∴m≤xlnx-x
令h（x）=xlnx-x，则h′（x）=lnx，∵x＞1，h′（x）＞0
∴h（x）_min=h（1）=-1，
∴m≤-1
分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，可得f′（1）=0，从而可求k的值；
（2）由导数的正负，可得函数的单调区间；
（3）分离参数，利用导数确定函数的最值，即可求得实数m的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，分离参数求函数的最值，是求恒成立问题的常用方法．