【题目】在区间D上,如果函数f(x)为减函数,而xf(x)为增函数,则称f(x)为D上的弱减函数.若f(x)=
(1)判断f(x)在区间[0,+∞)上是否为弱减函数;
(2)当x∈[1,3]时,不等式 恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若函数g(x)=f(x)+k|x|﹣1在[0,3]上有两个不同的零点,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)
解:由初等函数性质知, 在[0,+∞)上单调递减,
而 在[0,+∞)上单调递增,
所以 是[0,+∞)上的弱减函数
(2)
解:不等式化为 在x∈[1,3]上恒成立,则
,
而 在[1,3]单调递增,∴
的最小值为
,
的最大值为
,
∴ ,∴a∈[﹣1,
]
(3)
解:由题意知方程 在[0,3]上有两个不同根,
① 当x=0时,上式恒成立;
②当x∈(0,3]时,则由题意可得方程 只有一解,
根据 ,
令 ,则t∈(1,2],
方程化为 在t∈(1,2]上只有一解,所以
【解析】(1)利用初等函数的性质、弱减函数的定义,判断 是[0,+∞)上的弱减函数.(2)根据题意可得
,再利用函数的单调性求得函数的最值,可得a的范围.(3)根据题意,当x∈(0,3]时,方程
只有一解,分离参数k,换元利用二次函数的性质,求得k的范围.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种产品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有如表对应数据:
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)求回归直线方程;
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: .
(2)试预测广告费支出为10万元时,销售额多大?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,椭圆
的焦距为2,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点分别是椭圆
的左右顶点,直线
经过点
且垂直与轴,点
是椭圆上异于
的任意一点,直线
交
于点
.
①设直线的斜率为
,直线
的斜率为
,求证:
为定值;
②设过点垂直于
的直线为
,求证:直线
过定点,并求出定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,圆
的参数方程为
为参数),在以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求圆的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)设直线与
轴,
轴分别交于
两点,点
是圆
上任一点,求
两点的极坐标和
面积的最小值
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆C:x2+(y﹣1)2=5,直线l:mx﹣y+1﹣m=0. (Ⅰ)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点;
(Ⅱ)设l与圆C交与不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程;
(Ⅲ)若定点P(1,1)分弦AB为 =
,求此时直线l的方程.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:
x | |||||||
y | ﹣1 | 1 | 3 | 1 | ﹣1 | 1 | 3 |
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式.
(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)周期为 ,当
时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
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【题目】空间四边形ABCD中,AB=CD且异面直线AB与CD所成的角为30°,E,F为BC和AD的中点,则异面直线EF和AB所成的角为( )
A.15°
B.30°
C.45°或75°
D.15°或75°
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