Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），且．
（I）求a₂与a₃；
（II）求证：数列是等差数列；
（III）试比较a₁+2a₂+3a₃+…+na_n与2ⁿ⁺¹-n-2的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），n分别取2，3代入，结合，可求a₂与a₃的值；         
（II）由 a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），结合条件可得 =1，结论得证．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，，根据S_n=n²a_n-n（n-1），可得=n²a_n-n（n-1），从而有，利用 2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n+…+C_nⁿ≥1+n，得，从而有，故a₁+2a₂+3a₃+…+na_n≤+…，利用分组求和即可得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），
∴S₂=4a₂-2=a₁+a₂，S₃=9a₃-6=a₁+a₂+a₃，
∵，
∴，．                                                     
（Ⅱ）证明：由 a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），及 S_n=n²a_n-n（n-1）得 
S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即  （n²-1 ）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
∴=1，
∵，∴
∴{ }是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
∴，
又已知S_n=n²a_n-n（n-1），
∴=n²a_n-n（n-1），
∴．                                       
∵2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n+C_n¹+…+C_nⁿ≥1+n，
∴，
∴，
∴
∴a₁+2a₂+3a₃+…+na_n≤+…
=
=
=
∵当n∈N^*时，，即，
∴＜2ⁿ⁺¹-n-2．
即a₁+2a₂+3a₃+…+na_n＜2ⁿ⁺¹-n-2
点评：本题以数列递推式为载体，考查数列递推式的运用，考查等差数列的定义，考查放缩法，解题的关键是合理运用数列递推式．