Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA₁和CC₁的中点，G是A₁C₁的中点，求：
（1）点G到平面BFD₁E的距离；
（2）四棱锥A₁-BFD₁E的体积．

Answer 1

分析：（1）先根据条件得到四边形BFD₁E是棱形，设H是EF中点，再结合条件得到EF⊥面GHD₁，⇒平面BFD₁E⊥平面GHD₁，然后作GK⊥HD₁，在RT△GHD₁中求出GK的长即可得到结论；
（2）先根据A₁C₁∥EF⇒A₁C₁∥平面BFD₁E，进而得到G到平面BFD₁E的距离就是四棱锥A₁-BFD₁E的高，再代入体积计算公式即可得到答案．

解答：解：（1）由题得：BE=BF=FD1=ED1=

5

2

a，
∴四边形BFD₁E是棱形，连接EF和BD₁，
有A₁C₁∥EF，设H是EF中点，
连GH、GD₁，则EF⊥GH，EF⊥HD₁，
∴EF⊥面GHD₁，又EF?面BFD₁E中，
∴平面BFD₁E⊥平面GHD₁，
作GK⊥HD₁，则GK⊥面BFD₁E，
则G到平面的距离就是KG长．在RT△GHD₁中，

1

2

GH•GD₁=

1

2

GK•HD₁．
又GH=

1

2

a，GD1=

2

2

a，HD1=

3

2

a，
∴GK=

6

6

a．
（2）∵A₁C₁∥EF，∴A₁C₁∥平面BFD₁E，
∴G到平面BFD₁E的距离就是四棱锥A₁-BFD₁E的高，
∴VA1-BFD1E=

1

3

S菱形BFD1E•GK=

1

3

•

1

2

EF•BD1•GK=

1

3

•

2

2

a•

3

a•

6

6

a=

1

6

a3

点评：本题主要考查点到面的距离以及棱锥的体积计算，考查计算能力．本题的难点在于点G到平面BFD₁E的距离对应的垂线段不好找．