Question

1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

与2

n

的大小关系为

 

．（n∈N^*）

Answer 1

分析：将

1

n

变形为

2

2 n

，然后利用放缩变换构造

2

2 n

＜

2

n + n-1

，进而利用分母有理化及裂项相消法求解．

解答：解：∵

1

n

=

2

2 n

＜

2

n + n-1

=

2( n - n-1 )

( n + n-1 )( n - n-1 )

=2（

n

-

n-1

），
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2[（

1

-

0

）+(

2

-

1

)+(

3

-

2

)+…+（

n

-

n-1

）]=2

n

，
故答案为1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

．

点评：本题考查了不等式的有关知识，运用了放缩法、分母有理化及裂项相消法等数学方法，难度一般．