Question

若函数g_A（x）的定义域 A=[a，b），且g_A（x）=（

x

a

-1）²+（

b

x

-1）²，其中a，b为任意的正实数，且a＜b．
（1）求g_A（x）的最小值；
（2）讨论g_A（x）的单调性；
（3）若x₁∈I_k=[k²，（k+1）²]，x₂∈I_k+1=[（k+1）²，（k+2）²]，证明：g Ik（x₁）+g Ik+1（x₂）＞

4

k(k+1)

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式

分析：（1）将g_A（x）变成：gA(x)=(

x

a

+

b

x

-1)2-

2b

a

+1，根据已知条件及基本不等式

x

a

+

b

x

≥2

b a

，所以便可得到gA(x)≥2(

b a

-1)2，所以便求出了g_A（x）的最小值；
（2）求g′A(x)=2(

x

a

+

b

x

-1)(

1

a

-

b

x2

)，容易判断

x

a

+

b

x

-1＞0，令

1

a

-

b

x2

=0，x=

ab

，所以便可得到在[a，

ab

]上g_A（x）单调递减，在(

ab

，b)上g_A（x）单调递增；
（3）根据（1）便得到，gIk(x)+gIk+1(x2)≥

2

k2

+

2

(k+1)2

，而

2

k2

+

2

(k+1)2

=(

2

k

)2+(

2

k+1

)2＞

4

k(k+1)

．

解答： 解：（1）gA(x)=(

x

a

+

b

x

-1)2-

2b

a

+1；

x

a

+

b

x

≥2

b a

，0＜a＜b，当且仅当x=

ab

∈[a，b)时取“=”；
∴

x

a

+

b

x

-1≥2

b a

-1＞0；
∴(

x

a

+

b

x

-1)2≥(2

b a

-1)2，(

x

a

+

b

x

-1)2-

2b

a

+1≥(2

b a

-1)2-

2b

a

+1=2(

b a

-1)2，当x=

ab

时取“=”；
∴g_A（x）的最小值为2(

b a

-1)2；
（2）g′A(x)=2(

x

a

+

b

x

-1)(

1

a

-

b

x2

)；
∵a≤x＜b，0＜a＜b；
∴

x

a

≥1，

x

a

+

b

x

-1＞0；
令

1

a

-

b

x2

=0，x=

ab

；
∴x∈[a，

ab

]时，

1

a

-

b

x2

≤0，g′_A（x）≤0；x∈(

ab

，b)时，

1

a

-

b

x2

＞0，g′_A（x）＞0；
所以g_A（x）在[a，

ab

]上单调递减，在（

ab

，b）上单调递增；
（3）由（1）知，gIk(x1)≥2(

k+1

k

-1)2=

2

k2

，gIk+1(x2)≥

2

(k+1)2

；
∴gIk(x1)+gIk+1(x2)≥

2

k2

+

2

(k+1)2

＞2•

2

k

•

2

k+1

=

4

k(k+1)

；
∴gIk(x1)+gIk+1(x2)＞

4

k(k+1)

．

点评：考查完全平方式的运用，基本不等式求函数的最值，以及通过讨论导数符号来讨论函数单调性的方法，基本不等式a²+b²≥2ab的运用，注意“=”成立的条件．