Question

（1）若等比数列{a_n}的前n项和为S_n=3•2ⁿ+a，求实数a的值；
（2）对于非常数列{a_n}有下面的结论：若数列{a_n}为等比数列，则该数列的前n项和为S_n=Aa_n+B（A，B为常数）．判断它的逆命题是真命题还是假命题，并说明理由．
（3）若数列{a_n}为等差数列，则该数列的前n项和为．对其逆命题进行研究，写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=1，得到S₁=a₁，求出首项a₁的值，然后根据a_n=S_n-S_n-1，得出通项公式，把a₁的值代入即可求出a的值；
（2）写出已知命题的逆命题，判断得到其逆命题为假命题，可以举一个反例来说明；
（3）写出已知命题的逆命题，判断得到其逆命题为真命题，可以利用数学归纳法来证明，令n=3，代入已知的S_n中，得到2a₂=a₁+a₃，可得此数列为等差数列，然后设n=k时，数列{a_n}是等差数列，推理得到n=k+1时，数列也为等差数列，故此命题为真命题．
解答：解：（1）a₁=6+a，（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3•2ⁿ-3•2^n-1=3•2^n-1（2分），
因为数列{a_n}为等比数列，所以a₁满足a_n的表达式，即6+a=3•2，a=-3；（4分）
（2）逆命题：数列{a_n}是非常数数列，若其前n项和S_n=Aa_n+B（A，B为常数），则该数列是等比数列
判断：是假命题． （7分）
直接举反例，当A=0，B≠0时，数列{a_n}为：B，0，0，0，
故其前n项和满足S_n=Aa_n+B（A，B为常数），但不是等比数列；（10分）
（3）逆命题：若数列{a_n}的前n项和，则该数列是等差数列．
为真命题． （12分）
证明：n=3时，由2（a₁+a₂+a₃）=3a₁+3a₃⇒2a₂=a₁+a₃，命题成立，（13分）
假设n=k，（k≥3），时，数列{a_n}是等差数列，
当n=k+1时，2（S_k+a_k+1）=（k+1）（a₁+a_k+1），设a_k=a₁+（k-1）d
则（k-1）a_k+1=（k-1）（a₁+kd）…（16分）a_k+1=a₁+kd，即当n=k+1时，命题成立，（17分）
由数学归纳法可知，逆命题成立．（18分）
点评：此题考查了等比、等差数列的性质，数列的递推式，命题与逆命题的关系，以及数学归纳法的运用，要说明一个命题为假命题，只需举一个反例即可，要证明一个命题为真命题需要严格的证明．