Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，2），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），记函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\sqrt{3}sin2x$
（1）求函数f（x）的最值以及取得最值时x的集合：
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式及两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的值域，即可得到所求最值及对应的x的集合；
（2）由正弦函数的单调区间，解不等式可得所求函数的单调区间．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，2），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），
函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\sqrt{3}sin2x$=2cos²x+1+$\sqrt{3}$sin2x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即为x∈{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}，
f（x）取得最大值，且为4；
由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即为x∈{x|x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}，
f（x）取得最大值，且为0；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
即有增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式的运用，考查正弦函数的值域和单调区间，属于中档题．