Question

已知如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=BC=2AD=2，E、F分别是线段AB、CD上的动点且EF∥BC，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD丄平面EBCF （如图2）．

（1）当AE为何值时，有BD丄EG？
（2）设AE=x，以F、B、C、D为顶点的三梭锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；并求此时二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以点E为坐标原点，射线EB为X轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系E-XYZ，设AE=x，得出各点的坐标，表示出BD与EG对应的向量，令它们的内积为0建立方程，求出x的值，得出两直线垂直的条件；
（2）先由体积公式计算出f（x），，利用基本不等式求出函数的最大值据等号成立的条件得到AE的值，由此得到有关各点的坐标，设出法向量，求出两个半平面的法向量由公式求出夹角的余弦即可

解答：解：（1）以点E为坐标原点，射线EB为X轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系E-XYZ，设AE=x，则E（0，0，0），B（2-x，0，0），D（0，1，x），G（2-x，1，0），
∴

BD

=(x-2，1，x)，

EG

=(2-x，1，0)，
∵BD丄EG，
∴

BD

•

EG

=0，即（x-2）（2-x）+1=0，解得x=1或x=3，
又在图1中AB=2，
∴x=1，故AE=1时有BD丄EG；
（2）∵AD∥面BEC，
∴f（x）=V_D-BCF=V_A-BCF=

1

3

×S_△BCF×AE=

1

3

× 

1

2

 × 2(2-x)x≤

1

3

×(

2-x+x

2

)2=

1

3

．
设平面DBF的法向量为

n1

=(x，y，z)，
∵AE=1，B（1，0，0），D（0，1，1），F（0，

3

2

，0），
∴

BF

=(-1，

3

2

，0)，

BD

=（-1，1，1），则

n1 • BD =0 n1 • BF =0

，即

-x+y+z=0 -x+ 3 2 y=0

，令y=2，得

n1

=(3，2，1)，
∵AE⊥面BCF，
∴面BCF的一个法向量为

n2

=(0，0，1)，则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

14

14

，
由于所求的二面角D-BF-C的平面角是钝角，所以此二面角的余弦值为-

14

14

点评：本题考查二面角的平面角及求法，解题的关键是建立空间坐标系，利用向量法求证线面垂直，线面平行，以及求面面夹角，利用空间向量求解立体几何中的线面，面面位置关系及求线面角，二面角，是空间向量的重要应用，引入空间向量，大大降低了求解立体几何问题时的问题时的推理难度，使得思考变得容易，但此法也有不足，从解题过程可以看出，用空间向量法解立体几何问题，运算量不少，计算时要严谨，莫因运算出错导致解题失败．本题要注意所求的二面角是钝角这一情况，据此判断出正确答案