Question

设函数f（x）的定义域为R，f(x)=

1

f(-x)

，且f（0）=1，f（x）在R上为减函数；若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)；
（1）求{a_n}通项公式；
（2）当a＞1时，不等式

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

＞

12

35

(loga+1x-logax+1)对不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a1=f(0)=1，f(an+1)=

1

f(-2-an)

=f(2+an)，由f(x)=

1

f(-x)

知，a_n+1=a_n+2，由此能求出{a_n}通项公式．
（2）bn=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

，则bn+1=

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n+2

，当n≥2时，(bn)min=b2=

1

a3

+

1

a4

=

1

5

+

1

7

=

12

35

，所以log_a+1x-log_ax+1＜1，由此能求出x的范围．

解答：解：（1）∵f（0）=1，a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)；
∴a1=f(0)=1，f(an+1)=

1

f(-2-an)

=f(2+an)
∵f(x)=

1

f(-x)

，
∴a_n+1=a_n+2，
故{a_n}等差数列，
∵a₁=1，d=a_n+1-a_n=2，
∴a_n=2n-1…（8分）
（2）bn=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

，则bn+1=

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n+2

bn+1-bn=

1

a2n+1

+

1

a2n+2

-

1

an+1

=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

=

1

(4n+1)(4n+3)(2n+1)

＞0，{bn}是递增数列    …（14分）
当n≥2时，(bn)min=b2=

1

a3

+

1

a4

=

1

5

+

1

7

=

12

35

∴

12

35

＞

12

35

(loga+1x-logax+1)…（15分）
即log_a+1x-log_ax+1＜1，
log_a+1x＜log_ax．
而a＞1，
∴x＞1故x的范围（1，+∞）．…（16分）

点评：本题考查数列和不等式的综合运用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．