如图,在直三棱柱ABC―A1B1C1中, AA1=4,AB=5,BC=3,AC=4,D为CC1的中点。
(1)求异面直线AD与A1B1所成角的余弦值;
(2)试在线段AB上找一点E,使得:A1E⊥AD;
(3)求点D到平面B1C1E的距离。
解:(1)在直三棱柱ABC―A1B1C1中,
(1)∵,
∴(或其补角)为异面直线AD与A1B1所成的角,
连结BD, 在中,∵AC=4,
∴,
在中,∵BC=3,CD=2,∴,
在△ABD中,∵AB=5,
∴异面直线AD与A1B1所成角的余弦值为
(2)证明:∵AB=5,BC=3,AC=4,∴,
∵底面ABC⊥侧面ACC1A1,∴BC⊥侧面ACC1A1,
取AB、AC的中点E、F,连结EF、A1F,则EF//BC,
∴EF⊥平面ACC1A1, ∴A1F为A1E在侧面AC1内的射影,
在正方形C1CAA1内,∵ D、F分别为CC1、AC的中点,
∴≌,∴,
∴,∴,
∴(三垂线定理)
(3)连结,过D作DH⊥,垂足为H。
∵EF//BC,BC//B1C1,∴EF// B1C1,∴点F在平面B1C1E内。
∵EF⊥平面ACC1A1,平面ACC1A1,EF⊥DH,
∵,,∴DH⊥平面B1C1E。
在中,∵,∴。
科目:高中数学 来源: 题型:
如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
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科目:高中数学 来源:2011年四川省招生统一考试理科数学 题型:解答题
(本小题共l2分)
如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[来源:]
P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
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科目:高中数学 来源:2011年高考试题数学理(四川卷)解析版 题型:解答题
(本小题共l2分)
如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一
P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
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科目:高中数学 来源:四川省高考真题 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:
如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
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