Question

如图，在正三棱锥P-ABC中，点O为底面中心，点E在PA上，且AE=2EP
（1）求证：OE∥平面PBC
（2）若OE⊥PA，AB=3，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）证明：连接Ao延长交BC于M，连接PM，O是三角形的重心，可知AO=2OM，又AE=2EP，由三角形中位线可知OE∥PM，最后由线面平行的判定定理证明．
（2）如图：易证BC⊥平面PAM，所以三棱锥的体积转化为：三棱锥B-PAM和三棱锥C-PAM体积之和．

解答：解：（1）证明：连接Ao延长交BC于M，连接PM，O是三角形的重心，
∴AO=2OM，又AE=2EP
∴OE∥PM
∴OE∥平面PBC
（2）由（1）知OE∥PM，OE⊥PA
∴PM⊥PA
在正三棱锥P-ABC中，M为中点
∴AM⊥BC
∴VP-ABC=

1

3

 sPAM•BC=

9 2

8

点评：本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及判定定理，还考查了在体积求解中的转化思想和害补法思想，属中档题