Question

在平面直角坐标系中，点与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

(Ⅰ) ； (Ⅱ)存在，点的坐标为

解析试题分析：（I）解：因为点B与点A（-1,1）关于原点O对称，所以点B的坐标为（1，-1）
设点P的坐标为（x，y）
由题意得
化简得
故动点P的轨迹方程为
（Ⅱ）解法一：设点P的坐标为，点的坐标分别为
则直线的方程式为，直线的方程式为
令得            6分
于是的面积 
             7分
又直线AB的方程为
点P到直线AB的距离                8分
于是的面积            9分
当时，得          10分
又，所以，解得         12分
因为，所以。              13分
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为          14分
考点：轨迹方程是求法；直线与双曲线的综合应用。
点评：求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设P（x，y）是轨迹上的任意一点；
②寻找动点P（x，y）所满足的条件；③用坐标（x，y）表示条件，列出方程f（x，y）=0；④化简方程f（x，y）=0为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证。