【题目】已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x1、x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】证明: (1)因对定义域内的任意x1、x2都有
f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
令x1=x,x2=-1,
则有f(-x)=f(x)+f(-1).
又令x1=x2=-1,得2f(-1)=f(1).
再令x1=x2=1,得f(1)=0,
从而f(-1)=0,
于是有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)设0<x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1·)=f(x1)-[f(x1)+f()]=-f(),
由于0<x1<x2,所以>1,从而f()>0,
故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.
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【题目】数列{an}满足a1= ,an+1﹣1=an(an﹣1)(n∈N*)且Sn= + +…+ ,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是( )
A.{0,1,2}
B.{0,1,2,3}
C.{1,2}
D.{0,2}
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【题目】设集合A=[0, ),B=[ ,1],函数f (x)= ,若x0∈A,且f[f (x0)]∈A,则x0的取值范围是( )
A.(0, ]
B.[ , ]
C.( , )
D.[0, ]
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【题目】设f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且它在[0,+∞)上单调递增,若a=f( ),b=f( ),c=f(﹣2),则a,b,c的大小关系是(从小到大排)
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点D是⊙O上一点,过点D作⊙O的切线,交AB的延长线于点C,过点C作AC的垂线,交AD的延长线于点E.
(1)求证:△CDE为等腰三角形;
(2)若AD=2, = ,求⊙O的面积.
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【题目】给定椭圆,称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点是椭圆上的点
(1)若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点,求被椭圆的伴随圆所截得的弦长:
(2)是椭圆上的两点,设是直线的斜率,且满足,试问:直线是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过定点,试说明理由。
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