Question

已知函数f(x)自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．

(1)求函数f(x)＝x²形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间；

(2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，求m的取值范围．

Answer 1

(1)[0，＋∞)或[1，＋∞)　(2)－1

解析　(1)若n<0，则n＝f(0)＝0，矛盾．

若n≥0，则n＝f(n)＝n²，解得n＝0或1.

所以f(x)的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．

(2)因为g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，

所以2＋m>0，即m>－2.

令g′(x)＝1－>0，得x>1－m.

所以g(x)在(1－m，＋∞)上为增函数，

同理可得g(x)在(－m,1－m)上为减函数．

若2≤1－m即m≤－1时，

则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．

若m>－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．

所以满足条件的m值为－1.