Question

4．已知f（log_ax）=log${\;}_{a}^{2}$x-alog_ax²+1（a＞0且a≠1）．
（1）求y=f（x）的解析式及其定义域；
（2）若函数y=f（x）-a在（0，1）内有且只有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令log_ax=t，换元可得；
（2）令g（x）=x²-2ax+1-a，问题等价于g（0）g（1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{0＜-\frac{-2a}{2}＜1}\\{△=4{a}^{2}-4（1-a）=0}\end{array}\right.$，解不等式组可得a的范围．

解答 解：（1）令log_ax=t，换元可得f（t）=t²-2at+1，
∴y=f（x）的解析式为f（x）=x²-2ax+1，定义域为R；
（2）∵函数y=x²-2ax+1-a在（0，1）内有且只有一个零点，
令g（x）=x²-2ax+1-a，则g（0）g（1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{0＜-\frac{-2a}{2}＜1}\\{△=4{a}^{2}-4（1-a）=0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{2}{3}$＜a＜1

点评 本题考查对数函数的图象和性质，涉及函数零点的判定，属基础题．