Question

16．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
（1）CM∥平面PAD；
（2）平面PAB⊥平面PAD．

Answer 1

分析 根据题意，建立空间直角坐标系O-xyz，C为坐标原点O，
（1）要证CM∥面PAD，只需求出向量$\overrightarrow{CM}$与面PAD内的向量$\overrightarrow{DP}$、$\overrightarrow{DA}$共面即可．
（2）过B作BE⊥PA，E为垂足．要证面PAB⊥面PAD，只需证明面PAB内的向量$\overrightarrow{BE}$垂直面PAD内的直线PA、DA即可．

解答 解：如图，建立空间直角坐标系O-xyz，C为坐标原点O，
（1）证明：如图，建立空间直角坐标系．
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，即∠PBC=30°．
∵|PC|=2，∴|BC|=2$\sqrt{3}$，|PB|=4．
得D（1，0，0）、B（0，2$\sqrt{3}$，0）、
A（4，2$\sqrt{3}$，0）、P（0，0，2）．
∵PB=4PM，∴|MB|=3|PM|，
∴|PM|=1，M（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{CM}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
$\overrightarrow{DP}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{DA}$=（3，2$\sqrt{3}$，0）．
设$\overrightarrow{CM}$=x$\overrightarrow{DP}$+y$\overrightarrow{DA}$（x、y∈R），
则（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）=x（-1，0，2）+y（3，2$\sqrt{3}$，0）⇒x=$\frac{3}{4}$且y=$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{CM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{DP}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DA}$．
∴$\overrightarrow{CM}$、$\overrightarrow{DP}$、$\overrightarrow{DA}$共面．
又∵C∉平面PAD，故CM∥平面PAD．
（2）证明：过B作BE⊥PA，E为垂足．
∵|PB|=|AB|=4，∴E为PA的中点．
∴E（2，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{BE}$=（2，-$\sqrt{3}$，1）．
又∵$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{DA}$=（2，-$\sqrt{3}$，1）•（3，2$\sqrt{3}$，0）=0，
∴$\overrightarrow{BE}$⊥$\overrightarrow{DA}$，即BE⊥DA．
而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD．
∵BE?面PAB，∴面PAB⊥面PAD．

点评 本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法．突破点在于求出相关的向量所对应的坐标．