Question

15．过点M（1，2）的直线与曲线y=$\frac{a}{x}$有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 直线的方程为y-2=k（x-1），把它与曲线y=$\frac{a}{x}$联立，由条件利用韦达定理以及判别式大于零求得a的范围．

解答 解：设直线的方程为y-2=k（x-1），当k=0时，直线的方程为y=2，求得x=$\frac{a}{2}$，不满足条件．
当k≠0时，把y-2=k（x-1）与曲线y=$\frac{a}{x}$联立，
化简可得y²-（2-k）y-ka=0，∴y₁+y₂=2-k=a，
∵△=（2-k）² +4ak=a²+4（2-a）a＞0，求得 0＜a＜$\frac{8}{3}$，
故a的范围是（0，2）∪（2，$\frac{8}{3}$ ）．

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，一元二次方程根的分布与系数的关系，属于中档题．