Question

如图所示，某城镇为适应旅游产业的需要，欲在一扇形OAB（其中∠AOB=45°，扇形半径为1）草地上修建一个三角形人造湖OMN（其中M在OA上，N在

AB

及OB上，∠OMN=90°），且沿湖边修建休闲走廊．现甲部门需要人造湖的面积最大，乙部门需要走廊最长．请你设计一个方案，该方案（　　）

A．只能满足甲部门，不能满足乙部门

B．只能满足乙部门，不能满足甲部门

C．可以同时满足两个部门

D．两个部门都不能满足

Answer 1

分析：分别表示出人造湖的面积、走廊长，利用基本不等式，即可得到结论．

解答：解：当N在

AB

上时，设OM=x，MN=y，则x²+y²=1
∴人造湖的面积S=

1

2

xy≤

x2+y2

4

=

1

4

①
走廊长l=1+x+y=1+

(x+y)2

=1+

1+2xy

≤1+

1+x2+y2

=1+

2

②
①②等号成立的条件均为x=y=

2

2

∴点N和点B重合时，人造湖的面积、走廊长均取得最大值
故选C．

点评：本题考查基本不等式的运用，考查面积与周长的计算，属于中档题．