Question

给出以下几个命题：
①由曲线y=x²与直线y=2x围成的封闭区域的面积为

4

3

；
②已知点A是定圆C上的一个定点，线段AB为圆的动弦，若

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，O为坐标原点，则动点P的轨迹为圆；
③把5本不同的书分给4个人，每人至少1本，则不同的分法种数为A₅⁴•A₄¹=480种；
④若直线l∥平面α，直线l⊥直线m，直线l?平面β，则β⊥α．
其中，正确的命题有

 

．（将所有正确命题的序号都填在横线上）

Answer 1

分析：曲线y=x²与直线y=2x围成的封闭区域的面积为A，则利用定积分求出即可；

解答：解：联立曲线y=x²与直线y=2x得：x=0，y=0；x=2，y=4．设y=x²与直线y=2x围成的封闭区域的面积为A，
则∫₀²2x-x²dx=x²-

1

3

x³|₀²=

4

3

，所以①正确；
根据图象设AB的中点为Q，根据向量求和法则求出

1

2

(

OA

+

OB

)，由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)得

OQ

的轨迹为圆，②正确；
把5本不同的书分给4个人，每人至少1本，则不同的分法种数为c₅⁴•c₅¹=25，③错；
显然若直线l∥平面α，直线l⊥直线m，直线l?平面β，β不一定垂直于α，④错；
故答案为①②

点评：考查学生利用定积分求图形面积的能力，排列数公式的推导能力，圆的轨迹方程的求法，以及平面与平面垂直的判断能力．