Question

13、已知空间四边形ABCD的对角线AC、BD，点E、F、G、H、M、N分别是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点．求证：三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分．

Answer 1

分析：此题由中点很容易得到四边形EFGH与四边形MFNH为平行四边形，EG、FH、MN为它们的对角线，且FH为公用的对角线，所以EG、FH、MN交于它们的中点，即被该点平分．

解答：证明：如图所示，
连接EF、FG、GH、HE．
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，HG∥AC，
∴EF∥HG，同理，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
设EG∩FH=O，
则O平分EG、FH．
同理，四边形MFNH是平行四边形，
设MN∩FH=O′，则O′平分MN、FH．
∵点O、O′都平分线段FH，
∴点O与点O′重合，
∴MN过EG和FH的交点，即三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分．

点评：此题也可以从平面角度观察入手，在结合四边形的形状定位交点．根据平面性质的公理2可以知道：FH平面EFGH与平面MFNH的交线，而EG、MN分别在这两个平面内，所以它们的交点必在交线上．在通过观察，发现四边形EFGH与四边形MFNH为平行四边形，进一步可知，平分点即为中点．