Question

阅读下面给出的定义与定理：
①定义：对于给定数列{x_n}，如果存在实常数p、q，使得x_n+1=px_n+q 对于任意n∈N₊都成立，我们称数列{x_n}是“线性数列”．
②定理：“若线性数列{x_n}满足关系x_n+1=px_n+q，其中p、q为常数，且p≠1，p≠0，则数列{xn-

q

1-p

}是以p为公比的等比数列．”
（Ⅰ）如果a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N₊，利用定义判断数列{a_n}、{b_n}是否为“线性数列”？若是，分别指出它们对应的实常数p、q；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）如果数列{c_n}的前n项和为S_n，且对于任意的n∈N^*，都有S_n=2c_n-3n，
①利用定义证明：数列{c_n}为“线性数列”；
②应用定理，求数列{c_n}的通项公式；
③求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用“线性数列”的定义逐个判断即可；
（Ⅱ）①n≥2时，S_n+1=2c_n+1-3（n+1），S_n=2c_n-3n，两式相减可得递推式，根据递推式借助“线性数列”的定义可作出判断；②按照定理可判断{c_n+3}是公比为2的等比数列，易求c_n+3，从而可求c_n；③利用分组求和可求得S_n．

解答：解：（I）∵a_n=2n，∴a_n+1=a_n+2，n∈N^*，
故数列{a_n}是“线性数列”，对应的实常数p、q分别为1，2．
∵b_n=3•2ⁿ，∴b_n+1=2b_n，n∈N^*，
故数列{b_n}是“线性数列”，对应的实常数p、q分别为2，0；
（II）①令n=1，则S₁=2c₁-3．∴c₁=3，
又n≥2时，S_n+1=2c_n+1-3（n+1），S_n=2c_n-3n，两式相减得，c_n+1=2c_n+1-2c_n-3，
则c_n+1=2c_n+3，n=1时也成立，
∴c_n+1=2c_n+3，
故数列{c_n}为“线性数列”，对应的实常数p、q分别为2，3；
②按照定理：p=2，q=3，∴

q

1-p

=-3，
∴{c_n+3}是公比为2的等比数列，
则c_n+3=（c₁+3）•2^n-1=6•2^n-1，
∴c_n=6•2^n-1-3．
③由②得，S_n=6（1+2+2²+…+2^n-1）-3n
=6×

1-2n

1-2

-3n=6（2ⁿ-1）-3n=6•2ⁿ-3n-6，
故S_n=6•2ⁿ-3n-6．

点评：本题考查数列求和、由数列递推式求数列通项，考查新定义，考查学生解决问题的能力，本题要认真审题，准确理解题意．