Question

设函数，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（Ⅰ）求g（t）的表达式；
（Ⅱ）讨论g（t）在区间（-1，1）内的单调性并求极值．

Answer 1

解：（ I）由于=sin²x-2t•sinx+t²+4t³-3t+3
=（sinx-t）²+4t³-3t+3．
由于（sinx-t）²≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）取得其最小值g（t），即g（t）=4t³-3t+3． …（6分）
（ II）我们有g′（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1）．列表如下：

t	（-1，-）	-	（-，）		（，1）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由此可见，g（t）在区间和单调增加，在区间单调减小，
极小值为，极大值为． …（12分）
分析：（ I）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，利用二次函数的性质可得g（t）的解析式．
（ II）由于g′（t）=3（2t+1）（2t-1），由此求得函数的单调区间，由单调区间求得函数的极值．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求极值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．