Question

已知函数f（x）=x²+ax的最小值不小于-1，且f（）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数F（x）=f（x）-kx+1，x∈[-2，2]，记函数F（x）的最小值为g（k），求g（k）的解析式．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²+ax的最小值不小于-1，∴≥-1，即 a²≤4，-2≤a≤2．
再由f（） 可得 -≤-，a≥2．
综上可得，a=2，f（x）=x²+2x．
（2）二次 函数F（x）=f（x）-kx+1=x²+2x-kx+1 的图象开口向上，对称轴为 x=，又 x∈[-2，2]，．
当 ，即 k＜-2，时，函数F（x）在[-2，2]上是增函数，故当x=-2时，函数F（X）取得最小值为 g（k）=2k+1．
当，即-2≤k≤6时，当x=时，函数F（X）取得最小值为 g（k）=-k²+k．
当，即 k＞6时，函数F（x）在[-2，2]上是减函数，故当x=2时，函数F（X）取得最小值为 g（k）=9-2k．
综上可得，．
分析：（1）由f（x）=x²+ax的最小值不小于-1 求得-2≤a≤2．再由f（） 可得 a≥2，由此求得a的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）二次 函数F（x）=f（x）-kx+1=x²+2x-kx+1 的图象开口向上，对称轴为 x=，分对称轴在区间的左边、在区间上、在区间的右边三种情况，分别求出 g（k），从而得出结论．
点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．