Question

6．已知命题p：不等式x²-2ax-2a+3≥0恒成立；命题q：不等式x²+ax+2＜0有解．
（Ⅰ）若p∨q和￢q均为真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若p是真命题，抛物线y=x²与直线y=ax+1相交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）p∨q和?q均为真命题，⇒p为真命题且q为假命题．求出故命题p为真命题时，命题q为假命题时，实数a的取值范围，再求交集．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得命题p为真命题时实数a的取值范围，△OMN面积s=$\frac{1}{2}×$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，由韦达定理即可求解．

解答 解：（Ⅰ）∵p∨q和?q均为真命题，∴p为真命题且q为假命题．
∵命题p：不等式x²-2ax-2a+3≥0恒成立，
∴△=4a²+8a-12≤0．∴-3≤a≤1．
故命题p为真命题时，-3≤a≤1．
又命题q：不等式x²+ax+2＜0有解
∴△=a²-8＞0∴a＞$2\sqrt{2}$或a＜-$2\sqrt{2}$
从而命题q为假命题时，-$2\sqrt{2}$≤a≤$2\sqrt{2}$
所以命题p为真命题，q为假命题时，实数a的取值范围是-$2\sqrt{2}$≤a≤1．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得命题p为真命题时，-3≤a≤1
设点M、N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=ax+1}\\{y={x^2}}\end{array}}\right.$消去y，得到x²-ax-1=0，
△OMN面积s=$\frac{1}{2}×$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
$S=\frac{1}{2}\sqrt{{a^2}+4}≤\frac{{\sqrt{13}}}{2}$（10分）

点评 本题考查了命题真假的应用及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．